funcion lienal

En matemática, el término función lineal puede referirse a dos conceptos diferentes

En el primero, correspondiente a la geometría y el álgebra elemental, una función lineal es una función polinómica de primer grado. Es decir, una función que se representa en el plano cartesiano como una línea recta.

En el segundo caso, en matemáticas más avanzadas, una función lineal es una función que es una aplicación lineal. Esto es, una aplicación entre dos espacios vectoriales que preserva la suma de vectores y la multiplicación por un escalar.

Una función lineal según la primera definición dada anteriormente representa una aplicación lineal si y sólo si b = 0. Así, algunos autores llaman función lineal a aquella de la forma f(x) = mx mientras que llaman función afín a la que tiene la forma f(x) = mx + b cuando b es distinto de cero..

Recta que pasa por dos puntos

Determinar la recta del plano que pasan por los puntos (x1,y1) y (x2,y2).

Como en el caso anterior, la ecuación de la recta es:

Y ha de pasar por los puntos (x1,y1) y (x2,y2) luego tendrá que cumplirse:

que forman un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas, las incógnitas son m y b, para resolver este sistema, cambiamos de signo a la segunda ecuación y sumando las dos ecuaciones:

agrupando términos:

despejando m:

este valor, m, es el de la pendiente de la recta que pasa por los dos puntos: (x1,y1) y (x2,y2).

Despejando ahora el valor de b de una de las ecuaciones del sistema, por ejemplo de la primera, tenemos:

y sustituyendo m, por su valor ya calculado;

Tenemos las dos incógnitas m y b despejadas, en función de las coordenadas de los dos puntos por los que tienen que pasar, la ecuación general de la recta, con los parámetros ya calculados es:

ordenando términos:

Que es una recta en el plano que pasa por los puntos (x1,y1) y (x2,y2), como ya se ha dicho.

Una relación curiosa de la ecuación anterior es:

y que dice que la pendiente entre un punto cualesquiera (x,y), de la recta que pasa por dos puntos, y el punto (x1,y1), es la misma que la que hay entre los puntos (x1,y1) y (x2,y2) que definen la recta.

[editar] Rectas perpendiculares

Dada una recta:

Se trata de determinar que rectas:

son perpendiculares a la primera.

Sabiendo que:

Siendo α el ángulo que forma la recta con la horizontal, cualquier recta perpendicular a ella ha de formar un ángulo (α + 90) con la horizontal, por trigonometría sabemos que:

y si la pendiente de la primera recta es:

la de la segunda debe de ser:

Esto es, dada una recta cualquiera:

cualquier recta de la forma:

Es perpendicular a la primera, para cualquier valor del parámetro b.

Es fácil percatarse que las ordenadas en el origen de las rectas, no intervienen para determinar las rectas perpendiculares, esto es porque la perpendicularidad es un problema de dirección, y los puntos por los que pasa la recta no influyen, si la primera recta la sustituimos por una paralela a ella, el problema no se altera en absoluto, y el resultado es un conjunto de rectas paralelas, definidas por la pendiente y no por el punto concreto por el que pasa.

[editar] Abuso del lenguaje: identificación con funciones afines

En el análisis matemático y en la geometría, se suele abusar del lenguaje y denominar función lineal de una variable real a una función matemática de la forma:

donde m y b son constantes. La denominación correcta de este tipo de funciones es función afín.

La razón de este abuso de lenguaje es, probablemente, el hecho de que toda función afín f(x) = mx + b tiene una función lineal asociada f(x) = mx. De hecho, una ecuación de la forma y = mx + b se denomina ecuación lineal. Toda función afín tiene orden de crecimiento lineal, y se comporta asintóticamente como su función lineal asociada.

[editar] Ecuación lineal en el espacio n-dimensional

Las funciones lineales de varias variables admiten también interpretaciones geométricas. Así una función lineal de dos variables de la forma

representa un plano y una función

representa una hipersuperficie plana de n-1 dimensiones y pasa por el origen de coordenadas en un espacio n-dimension